Question

設函數(shù)f（x）=-x³+mx²+x，g（x）=mx²-x+c，F(xiàn)（x）=xf（x）．
（Ⅰ） 若函數(shù)y=f（x）在x=2處有極值，求實數(shù)m的值；
（Ⅱ） 試討論方程y=F′（x）=g（x）的實數(shù)解的個數(shù)；
（Ⅲ）記函數(shù)y=G（x）的導稱函數(shù)G′（x）在區(qū)間（a，b）上的導函數(shù)為G′′（x），若在（a，b）上G′′（x）＞0恒成立，則稱函數(shù)G（x）（a，b）上為“凹函數(shù)”．若存在實數(shù)m∈[-2，2]，使得函數(shù)F（x）在（a，b）上為“凹函數(shù)”，求b-a最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）求導函數(shù)
∵函數(shù)y=f（x）在x=2處有極值，
∴
∴m=；
（Ⅱ） 由題意y=F′（x）=f（x）+xf′（x）=-x³+mx²+x==mx²-x+c
，即
令，∴h′（x）=-x²+4
令h′（x）=-x²+4＞0，可得-2＜x＜2；令h′（x）=-x²+4＜0，可得x＜-2，或x＞2；
∴函數(shù)的單調增區(qū)間為（-2，2），單調減區(qū)間為（-∞，-2），（2，+∞）
∴x=-2時，函數(shù)取得極小值為；x=2時，函數(shù)取得極大值為
∴當極小值大于0或極大值小于0，即或，即或時，方程有唯一解；
當極小值或極大值等于0，即時，方程有兩個解；
當極小值小于0且極大值大于0，即時，方程有三個解；
（Ⅲ）由（Ⅱ） 知F′（x）=，∴F″（x）=-x²+mx+3
令F″（x）＞0，∴-x²+mx+3＞0，∴x²-mx-3＜0
要使存在實數(shù)m∈[-2，2]，使得函數(shù)F（x）在（a，b）上為“凹函數(shù)”，則b-a取得最大時，b，a是方程x²-mx-3=0的根，∴b+a=m，ba=-3
∴（b-a）²=m²+12
∴b-a最大值為．
分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，利用函數(shù)y=f（x）在x=2處有極值，可得，從而可求實數(shù)m的值；
（Ⅱ） 由題意y=F′（x）=f（x）+xf′（x）=-x³+mx²+x==mx²-x+c
，即，構造函數(shù)，確定函數(shù)的單調區(qū)間，從而可得函數(shù)的極值，進而分類討論，即可得到方程y=F′（x）=g（x）的實數(shù)解的個數(shù)；
（Ⅲ）由（Ⅱ） 知F′（x）=，所以F″（x）=-x²+mx+3，利用新定義，即可求得b-a最大值．
點評：本題重點考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，函數(shù)的單調性，考查方程解的討論，同時考查新定義，綜合性較強．