Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx在x=1處的切線方程為6x-2y-1=0，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，g（x）=a•e^x（a，b，c∈R）．
（1）求b，c的值；
（2）若存在x₀∈（0，2]，使g（x₀）=f′（x₀）成立，求a的范圍．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=3x²+2bx+c，
∴f（x）在x=1處的切線方程為y-（1+b+c）=（3+2b+c）（x-1），
即y=（3+2b+c）x-2-b，
∴，即，
∴．
（2）若存在x₀∈（0，2]使成立，
即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，
∴a•e^x=3x²-3x+3，
∴，
令，
∴
=
=-，
令h′（x）=0，得x₁=1，x₂=2，列表討論：

x	（0，1）	1	（1，2）	2
h′（x）	-	0	+	0
h（x）	↓	極小值	↑	極大值

∴h（x）有極小值h（1）=，h（x）有極大值h（2）=，
且當x→0時，h（x）→3＞，
∴a的取值范圍是．
分析：（1）由f′（x）=3x²+2bx+c，知f（x）在x=1處的切線方程為y=（3+2b+c）x-2-b，故，由此能求出f（x）．
（2）若存在x₀∈（0，2]使成立，即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，故，令，則=-，由此能求出a的取值范圍．
點評：本題考查實數(shù)值和實數(shù)取值范圍的求法，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)極值的求法和應(yīng)用、切線方程的求法和應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．