Question

設函數f（x）=．
（1）判斷f（x）在區(qū)間（0，π）上的增減性并證明之；
（2）設0≤x≤π，且0≤a≤1，求證：（2a-1）sinx+（1-a）sin（1-a）x≥0．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=，∴f'（x）=
設g（x）=xcosx-sinx，x∈（0，π）．則g'（x）=-xsinx＜0
∴g（x）在（0，π）上為減函數
又∵g（0）=0，∴當x∈（0，π）時，g（x）＜0，
∴當x∈（0，π）時，f'（x）=＜0，可得f（x）在區(qū)間（0，π）上是減函數 …（5分）
（2）顯然，當a=0、1時，或x=0、π時，不等式成立
當0＜a＜1且0＜x＜π時，原不等式等價于：（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sinx．
下面證明一個更強的不等式：（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a+a²）sinx．…①
即sin（1-a）x≥（1-a）sinx．…②
亦即≥
由（1）知在（0，π）上為減函數
又∵（1-a）x≤x，∴≥，得不等式②成立，從而①成立
∵（1-2a+a²）sinx≥（1-2a）sinx．
∴（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sinx．
綜上所述，得0≤x≤π，且0≤a≤1時，原不等式成立 …（12分）
分析：（1）對函數f（x）求導數，得f'（x）=，再討論分子對應函數的單調性，得f'（x）的分子最大值小于0，從而得到f'（x）＜0在區(qū)間（0，π）上恒成立，所以f（x）是區(qū)間（0，π）上的減函數；
（2）為了證明原不等式，利用（1）中的單調性，證明出不等式（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a+a²）sinx區(qū)間（0，π）上恒成立．結合（1-2a+a²）sinx≥（1-2a）sinx得（1-a）sin（1-a）x≥（1-2a）sinx，移項整理即得原不等式成立．
點評：本題給出含三角函數的分式函數，求函數的單調性并證明不等式恒成立，著重考查了利用導數研究函數的單調性和不等式恒成立等知識，屬于中檔題．