Question

由下面四個圖形中的點(diǎn)數(shù)分別給出了四個數(shù)列的前四項(xiàng)，將每個圖形的層數(shù)增加可得到這四個數(shù)列的后繼項(xiàng)．按圖中多邊形的邊數(shù)依次稱這些數(shù)列為“三角形數(shù)列”、“四邊形數(shù)列”…，將構(gòu)圖邊數(shù)增加到n可得到“n邊形數(shù)列”，記它的第r項(xiàng)為P（n，r）．

（1）求使得P（3，r）＞36的最小r的取值；
（2）試推導(dǎo)P（n，r）關(guān)于n、r的解析式；
（3）是否存在這樣的“n邊形數(shù)列”，它的任意連續(xù)兩項(xiàng)的和均為完全平方數(shù)．若存在，指出所有滿足條件的數(shù)列，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：綜合題,推理和證明

分析：（1）由已知可得P（3，r）=

r(r+1)

2

，解不等式可得最小r的取值；
（2）設(shè)n邊形數(shù)列所對應(yīng)的圖形中第r層的點(diǎn)數(shù)為a₁，則P（n，r）=a₁+a₂+…+a_r，進(jìn)而由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可得答案．
（3）P（n，r+1）+P（n，r）=（n-2）r²+2r+1，n=3時，滿足題意；而結(jié)論要對于任意的正整數(shù)r都成立，則（n-2）r²+2r+1的判別式必須為0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意得：P（3，r）=1+2+…+r=

r(r+1)

2

令

r(r+1)

2

＞36
即r²+r-72＞0，
解得r＞8
∴最小的r=9．
（2）設(shè)n邊形數(shù)列所對應(yīng)的圖形中第r層的點(diǎn)數(shù)為a₁，
則P（n，r）=a₁+a₂+…+a_r，
從圖中可以得出：后一層的點(diǎn)在n-2條邊上增加了一點(diǎn)，兩條邊上的點(diǎn)數(shù)不變，
所以a_r+1-a_r=n-2，a₁=1
所以{a_r}是首項(xiàng)為1公差為n-2的等差數(shù)列，
所以P（n，r）=r+

(n-2)r(r-1)

2

；
（3）P（n，r+1）+P（n，r）=（n-2）r²+2r+1，
n=3時，滿足題意；
而結(jié)論要對于任意的正整數(shù)r都成立，則（n-2）r²+2r+1的判別式必須為0，
∴4-4（n-2）=0，∴n=3，
故滿足題意的數(shù)列為“三角形數(shù)列”．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的基本知識，遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解等基本方法，考察抽象概括能力以及推理論證能力．