Question

給出下列幾個(gè)命題：
①若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，則g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函數(shù)；
②若函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，對(duì)于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
③已知x₁，x₂是函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的兩個(gè)值，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，f（x₁）＞f（x₂），則f（x）是減函數(shù)；
④設(shè)函數(shù)y=

1-x

+

x+3

的最大值和最小值分別為M和m，則M=

2

m；
⑤若f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且f（x+2）也為奇函數(shù)，則f（x）是以4為周期的周期函數(shù)．
其中正確的命題序號(hào)是

①④⑤

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：由偶函數(shù)的定義，可判斷①的真假；由函數(shù)對(duì)稱性滿足的條件，及函數(shù)周期性的性質(zhì)，可以判斷②的真假；由減函數(shù)的定義，可判斷③的真假；根據(jù)函數(shù)的解析式，分析出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而分析出函數(shù)的最值，可判斷④的真假；由周期函數(shù)的定義及性質(zhì)，可以判斷⑤的真假，進(jìn)而得到答案．

解答：解：∵g（x）=f（x）+f（-x），∴g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x），故①g（x）是偶函數(shù)為真命題，
∵定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x），對(duì)于任意的x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（1，0）成中心對(duì)稱，故②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱為假命題；
若f（x）是減函數(shù)，則要求任意x₁＜x₂，均有f（x₁）＞f（x₂），由于③中x₁，x₂是函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的兩個(gè)值，不具有任意性，故③為假命題；
函數(shù)y=

1-x

+

x+3

的定義域?yàn)閇-3，1]，且函數(shù)y=

1-x

+

x+3

在[-3，-1]上為增函數(shù)，在[-1，1]上為減函數(shù)，故m=2，M=2

2

，∴M=

2

m，故④正確
若f （x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f （x+2）也為奇函數(shù)，則f （x）是以4為周期的周期函數(shù)，故⑤為真命題．
故答案為：①④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)奇偶性的判斷，函數(shù)圖象的對(duì)稱性，及函數(shù)的奇偶性，是函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，熟練掌握函數(shù)性質(zhì)的判定法則及函數(shù)性質(zhì)的定義是解答本題的關(guān)鍵．