Question

15．在復(fù)數(shù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z₁在連接1+i和1-i的線段上移動(dòng)，設(shè)復(fù)數(shù)Z₂在以圓點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓周上移動(dòng)，求復(fù)數(shù)Z₁+Z₂在復(fù)平面上移動(dòng)的面積．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)A（1，1），B（1，-1），$\overrightarrow{OP}$對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z₁=1+bi（-1≤b≤1）.$\overrightarrow{OQ}$對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z₂=cosθ+isinθ（θ∈[0，2π））．則復(fù)數(shù)Z₁+Z₂對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（1+cosθ）+（b+sinθ）i．利用實(shí)部與虛部的范圍即可得出復(fù)數(shù)Z₁+Z₂在復(fù)平面上移動(dòng)的面積S為四邊形EFGH的面積．

解答 解：如圖所示，
設(shè)A（1，1），B（1，-1），$\overrightarrow{OP}$對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z₁=1+bi（-1≤b≤1）．
$\overrightarrow{OQ}$對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z₂=cosθ+isinθ（θ∈[0，2π））．
則復(fù)數(shù)Z₁+Z₂對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（1+cosθ）+（b+sinθ）i．
則1+cosθ∈[-1，2]，（b+sinθ）∈[-2，2]．
則復(fù)數(shù)Z₁+Z₂在復(fù)平面上移動(dòng)的面積S為四邊形EFGH的面積=$\frac{1}{2}|GE||FH|$=$\frac{1}{2}×3×4$=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、四邊形的面積，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．