19．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且對任意實數(shù)都有a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且當(dāng)x＞0時，f（x）＜0恒成立．
（1）求f（0）；
（2）證明：函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
（3）證明：函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù)．

分析 （1）令a=b=0，即可求出．
（2）令a=x，b=-x，得到f（-x）=-f（x），即可得證；
（3）設(shè)x1＜x2，則x2-x1＞0，由條件得f（x2-x1）＜0，再由條件可得f（x2）＜f（x1），即可得證．

解答 解：（1）f（0）=2f（0），則f（0）=0．
（2）令a=x，b=-x，
則f（x-x）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
（3）設(shè)x1＜x2，則x2-x1＞0，
當(dāng)x＞0時，f（x）＜0恒成立，則f（x2-x1）＜0，
∴f（x1）+f（x2-x1）=f（x2）＜f（x1），
∴函數(shù)y=f（x）是R上的減函數(shù)．

點評 本題考查抽象函數(shù)及運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，關(guān)鍵是賦值，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

9．已知函數(shù)f（x）定義在[-4，4]上的奇函數(shù)，且在[-4，4]上單調(diào)遞增，若f（m+1）+f（m-3）＜0，求m的取值范圍．

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10．函數(shù)f（x）=|3sinx+4cosx|的最小正周期是（　　）
A．$\frac{π}{4}$B．$\frac{π}{2}$C．πD．2π

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7．已知sinα+cosα=-$\frac{1}{5}$．
（1）求sin（$\frac{π}{2}$+α）cos（$\frac{π}{2}$-α）的值；
（2）若$\frac{π}{2}$＜α＜π，求$\frac{1}{sin（π-α）}$+$\frac{1}{cos（π-α）}$的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．已知sin（3π-α）=$\sqrt{2}$sin（6π+β），$\sqrt{3}$cos（-α）=-$\sqrt{2}$cos（π+β），且0＜α＜π，0＜β＜π，求α和β的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

4．若y=（3k-1）x+k是定義域為R的減函數(shù)，則k的取值范圍（-∞，$\frac{1}{3}$）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

11．下列各組的兩個函數(shù)，表示同一個函數(shù)的是（　�。�
A．y=$\frac{{x}^{2}}{x}$與y=xB．y=$\frac{x}{{x}^{2}}$與y=$\frac{1}{x}$C．y=|x|與y=xD．y=$（\sqrt{x}）^{2}$與y=x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．已知直線l：2x-y-1=0，動點P（x，y）在直線l上．
（1）若A（0，4），B（-2，0），求|PA|+|PB|的最小值并求此時點P的坐標；
（2）若A（0，4），C（4，1），求|PC|-|PA|的最大值并求此時點P的坐際．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

9．已知tanα=$\frac{2}{5}$，tanβ=$\frac{3}{7}$，求tan（α+β）和tan（α-β）的值．

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