Question

已知函數(shù)f（x）=

(a+1)x2+1

bx

且f（1）=3，f（2）=

9

2

．
（1）求a，b的值； 
（2）求證f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件f（1）=3，f（2）=

9

2

，建立方程即可求a，b的值； 
（2）求函數(shù)f（x）的表達式，然后求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性或者利用函數(shù)單調(diào)的定義進行證明．

解答： 解：（1）∵f（x）=

(a+1)x2+1

bx

且f（1）=3，f（2）=

9

2

．
∴f（1）=

a+1+1

b

=3，即a+2=3b，①
f（2）=

4a+4+1

2b

=

9

2

．
即4a+5=9b  ②，
兩式聯(lián)立解得a=1，b=1．
（2）∵a=1，b=1
∴f（x）=

(a+1)x2+1

bx

=

2x2+1

x

=2x+

1

x

，
f'（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，
當x≥1時，f'（x）≥0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
即f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
方法2：使用定義法證明：
設(shè)1≤x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=2x₁+

1

x1

-2x₁-

1

x2

=（x₁-x₂）•

2x1x2-1

x1x2

，
∵1≤x₁＜x₂，
∴x₁x-1＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用條件求出a，b的值是解決本題的關(guān)鍵．