Question

19．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，AA₁=1．
（Ⅰ）證明：BC₁∥平面D₁AC；
（Ⅱ）證明：BC₁⊥B₁D．

Answer 1

分析 （Ⅰ）容易說(shuō)明BC₁∥AD₁，從而根據(jù)線面平行的判定定理即可得出BC₁∥平面D₁AC；
（Ⅱ）連接DB₁，B₁C，可以看出BC₁⊥CD，而根據(jù)條件知道四邊形BCC₁B₁為正方形，從而有BC₁⊥B₁C，這樣根據(jù)線面垂直的判定定理即可得出BC₁⊥平面B₁CD，從而得出BC₁⊥B₁D．

解答 證明：（Ⅰ）∵AB∥D₁C₁，且AB=D₁C₁；
∴四邊形ABC₁D₁為平行四邊形；
∴BC₁∥AD₁；
又AD₁?平面D₁AC，BC₁∉平面D₁AC；
∴BC₁∥平面D₁AC；
（Ⅱ）如圖，連接DB₁，B₁C；

∵CD⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁；
∴CD⊥BC₁，即BC₁⊥CD；
又BC=BB₁，∴四邊形BCC₁B₁是正方形；
∴BC₁⊥B₁C，且CD∩B₁C=C；
∴BC₁⊥平面B₁CD；
∴BC₁⊥B₁D．

點(diǎn)評(píng) 考查平行四邊形的概念，線面平行的判定定理，線面垂直的性質(zhì)，正方形的對(duì)角線互相垂直，以及線面垂直的判定定理．