Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是常數(shù)，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成公比不為1的等比數(shù)列．
（I）求c的值；        
（II）求{a_n}的通項公式．
（III）由數(shù)列{a_n}中的第1、3、9、27、…項構(gòu)成一個新的數(shù)列{b_n}，求{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（I）利用題設遞推式分別表示出a₂和a₃，利用三者的等比關(guān)系求得c．
（II）分別表示很出a₂-a₁，a₃-a₂等，利用疊加法求得數(shù)列的通項公式．
（III）把利用（II）中數(shù)列{a_n}的通項公式，求得b_n}．

解答：解：（I）a₁=2，

a

2

=2+c，a₃=2+3c，
因為a₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，
所以（2+c）²=2（2+3c），
解得c=0，或c=2．
當c=0時，a₁=a₂=a₃，不符合題意舍去，
故c=2．
（II）當n≥2時，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，
a_n-a_n-1=（n-1）c，
所以a_n-a₁=[1+2+…+（n-1）]c=

n(n-1)

2

c．
又a₁=2，c=2，
故a_n=2+n（n-1）
=n²-n+2．
當n=1時，上式也成立，
所以an=n2-n+2，n∈N^*．
（III）∵an=n2-n+2，n∈N^*．
數(shù)列{a_n}中的第1、3、9、27、…項構(gòu)成一個新的數(shù)列{b_n}，
∴b₁=a₁=1²-1+2=3^2×1-2-3^1-1+2，
b₂=a₃=3²-3+2=3^2×2-2-3^2-1+2，
b₃=a₉=9²-9+2=3^2×3-2-3^3-1+2，
b₄=a₂₇=27²-27+2=3^2×4-2-3^4-1+2，
…
∴b_n=3^2n-2-3^n-1+2．

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式，數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)．涉及了綜合知識的運用．