已知
a
=（cosx+sinx，sinx），
b
=（cosx-sinx，2cosx）．
（1）求證：向量
a
與向量
b
不可能平行；
（2）若f（x）=
a
•
b
，且x∈[-
π
4
，
π
4
]時，求函數(shù)f（x）的最大值及最小值．
分析：（1）假設(shè)
a
∥
b
就一定有2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0成立，整理出sin2x+cos2x=-3＜-2，矛盾．故不成立．
（2）先表示出f（x）=
a
•
b
=（cosx+sinx）•（cosx-sinx）+sinx•2cosx=
2
（sin2x+
π
4
），再根據(jù)x的范圍求出函數(shù)f（x）的最大值及最小值．
解答：解：（1）假設(shè)
a
∥
b
，則2cosx（cosx+sinx）-sinx（cosx-sinx）=0，
∴2cos2x+sinxcosx+sin2x=0，2•
1+cos2x
2
+
1
2
sin2x+
1-cos2x
2
=0，
即sin2x+cos2x=-3，
∴
2
（sin2x+
π
4
）=-3，與|
2
（sin2x+
π
4
）|≤
2
矛盾，
故向量
a
與向量
b
不可能平行．
（2）∵f（x）=
a
•
b
=（cosx+sinx）•（cosx-sinx）+sinx•2cosx
=cos2x-sin2x+2sinxcosx=cos2x+sin2x=
2
（
2
2
cos2x+
2
2
sin2x）=
2
（sin2x+
π
4
），
∵-
π
4
≤x≤
π
4
，
∴-
π
4
≤2x+
π
4
≤
π
4
，
∴當(dāng)2x+
π
4
=
π
4
，即x=
π
8
時，f（x）有最大值
2
；
當(dāng)2x+
π
4
=-
π
4
，即x=-
π
4
時，f（x）有最小值-1．
點評：本題主要考查平面向量的坐標運算．考查平面向量時經(jīng)常和三角函數(shù)放到一起做小綜合題．是高考的熱點問題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=（cosx+sinx，sinx），
b
=（cosx+sinx，-2sinx），且f（x）=
a
.
b

（1）求f（x）的解析式，并用f（x）=Asin（wx+φ）的形式表示；
（2）求方程f（x）=1的解．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=（cosx，sinx），
b
=（sinx，cosx），與f（x）=
a
•
b
要得到函數(shù)y=cos2x-sin2x的圖象，只需將函數(shù)y=f（x）的圖象（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=(1-cosx，2sin
x
2
)，
b
=(1+cosx，2cos
x
2
)，設(shè)f(x)=2+sinx-
1
4
|
a
-
b
|2．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）和函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，
（�。┣蠛瘮�(shù)g（x）的解析式；
（ⅱ）若函數(shù)h（x）=g（x）-λf（x）+1在區(qū)間[-
π
2
，
π
2
]上是增函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=（cosx+sinx，sinx），
b
=（cosx-sinx，2cosx），設(shè)f（x）=
a
•
b

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣變換得到y(tǒng)=f（x）的圖象，試寫出變換過程；
（3）當(dāng)x∈[0，
π
2
]時，求函數(shù)f（x）的最大值及最小值．

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