Question

已知函數(shù)f(x)=log2

1+x

x-1

．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域并證明其為奇函數(shù)；
（2）若當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）+log₂（x-1）＞m恒成立．求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，求出函數(shù)的定義域，然后利用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可；
（2）該題參數(shù)m已經(jīng)分離，所以只需利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出取值范圍，從而可求出m的取值范圍，由于不等式左側(cè)的最小值取不到，則m可以取該值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=log2

1+x

x-1

，
∴令

1+x

x-1

＞0，解得x＜-1或x＞1，
∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＜-1或x＞1}，
∴函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，
又∵f(-x)=log2

1-x

-x-1

=log2

x-1

x+1

=-log2

x+1

x-1

=-f(x)，
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（2）∵函數(shù)f(x)=log2

1+x

x-1

，
∴f（x）+log₂（x-1）=log2

1+x

x-1

+log₂（x-1）=log₂（1+x），
∵y=log₂（1+x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，log₂（1+x）＞log₂（1+1）=1，
∴1＜f（x）+log₂（x-1），
又∵當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）+log₂（x-1）＞m恒成立，
∴m≤1＜f（x）+log₂（x-1），
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤1．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性的判斷，以及不等式恒成立問題，對于不等式恒成立問題一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法求解．本題解題過程中運(yùn)用了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解取值范圍．屬于中檔題．