Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求在上的值域；

（2）試求的零點個數，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）（2）當時， 只有一個零點；當時， 有兩個零點．

【解析】試題分析：（1）當時， ，則，而在上恒成立，所以在上遞減，由，可得

當時， ， 遞增；當時， 遞減；所以，比較的大小可得，進而可得結果；

（2）原方程等價于實根的個數，原命題也等價于在上的零點個數，討論， ， ，三種情況，分別利用導數研究函數的單調性，結合函數圖象與零點存在定理可得結果.

試題解析：（1）當時， ，則，

而在上恒成立，所以在上遞減，

， ，

所以在上存在唯一的，使得，而且

當時， ， 遞增；當時， 遞減；

所以，當時， 取極大值，也是最大值，即，

，

所以， 在上的值域為.

（2）令，得， 顯然不是方程的根，

那么原方程等價于實根的個數，令，

原命題也等價于在上的零點個數；

又因為，所以在和上都是單調遞增的；

（I）若，則

當時， 恒成立，則沒有零點；

當時， ， ，又在上單調遞增的，所以有唯一的零點。

（II）若，則

當時， 恒成立，則沒有零點；

當時， ， ，又在上單調遞增的，所以有唯一的零點

（III）若，則

當時，由 ，則，

則取，則，又，所以在有唯一的零點，

當時， ，

，又在上單調遞增的，所以有唯一的零點

綜上所述，當時， 只有一個零點；當時， 有兩個零點．