Question

設(shè)函數(shù)f（x）=mx²-mx-1（m∈R）．
（Ⅰ）若對(duì)一切實(shí)數(shù)x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅱ）若對(duì)于x∈[-2，2]，m＜

6

x2-x+1

恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）將不等式轉(zhuǎn)化為mx²-mx-1＜0，分m=0和m≠0兩種情況討論．對(duì)于后者對(duì)一切實(shí)數(shù)x，f（x）＜0恒成立等價(jià)于

m＜0 △=m2+4m＜0

，解不等式組即可得到m的取值范圍．
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=

6

x2-x+1

，則m＜

6

x2-x+1

恒成立等價(jià)于m小于g(x)=

6

x2-x+1

x∈[-2，2]的最小值，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出g（x）的最小值，從而可得到m的取值范圍．

解答： 解（Ⅰ）∵f（x）=mx²-mx-1（m∈R）．
∴f（x）＜0可化為mx²-mx-1＜0，
當(dāng)m=0時(shí)，-1＜0恒成立，符合；
當(dāng)m≠0時(shí)，對(duì)一切實(shí)數(shù)x，f（x）＜0恒成立等價(jià)于

m＜0 △=m2+4m＜0

，
解得-4＜m＜0，
∴m的取值范圍是（-4，0]．
（Ⅱ）令g（x）=

6

x2-x+1

，
則m＜

6

x2-x+1

恒成立等價(jià)于m小于g(x)=

6

x2-x+1

x∈[-2，2]的最小值，
又∵g(x)=

6

x2-x+1

=

6

(x- 1 2 )2+ 3 4

，
∴當(dāng)x=-2時(shí)，g（x）取最小值，
即g(x)min=g(-2)=

6

7

，
∴m＜

6

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次不等式以及恒成立問(wèn)題的處理方法和技巧，屬于中檔題．