Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，對(duì)任意，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），且f（1）=4．
（I） 求及；
（II） 證明f（x）是周期函數(shù)；
（Ⅲ）若對(duì)任意，都有f（x）＞1，證明函數(shù)f（x）在上為增函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中對(duì)任意，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），且f（1）=4．我們先令x₁=x₂=，求出f（），再令x₁=x₂=，即可求出；
（II）由已知中f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，且f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，故f（x）=（2-x），且f（-x）=f（x），進(jìn)而可得f（x）=f（2+x），即證出函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)；
（Ⅲ）由對(duì)任意，都有f（x）＞1，設(shè)任意x₁，x₂∈[0，]，且x₁＜x₂，令x₂-x₁=a，則0＜a＜，根據(jù)對(duì)任意，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），易證得．進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得到答案．
解答：解：（I）∵x₁，x₂∈[0，]都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），
∴f（x）=f（）f（）≥0，x∈[0，1]
f（1）=f（+）=f（）•f（）=[f（）]²
f（）=f（+）=f（）•f（）=[f（）]²，f（1）=4，
∴．（注：在[0，]上）…（4分）
證明：（II）依題設(shè)y=f（x）關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，
∴f（x）=f（2-x），
∴f（-x）=f（2+x）         …（6分）
又∵f（-x）=f（x），
∴f（x）=f（2-x）=f（2+x），
∴f（x）=f（2+x），…（8分）
∴f（x）是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期．…（10分）
（Ⅲ）設(shè)任意x₁，x₂∈[0，]，且x₁＜x₂，令x₂-x₁=a，則0＜a＜，
∴f（x₂）=f（x₁+a）=f（x₁）•f（a）…（13分）
∴
又∵對(duì)任意，都有f（x）＞1，
∴f（a）＞1
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在[0，]上單調(diào)增．…（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的周期性，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，函數(shù)的值，是函數(shù)問(wèn)題的綜合應(yīng)用，由于題目中并未給函數(shù)的解析式，故要用到抽象函數(shù)的處理方法進(jìn)行解答，屬中檔題．