Question

已知函數(shù)（a∈R）．
（1）當a=-3時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設g（x）=f（x）+f′（x）+ax²，若函數(shù)g（x）在區(qū)間（-1，1）有極值，求a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當a=-3時，，
∴f'（x）=x²-2x-3=（x-3）（x+1）．令f'（x）=0，得 x₁=-1，x₂=3．
當x＜-1時，f′（x）＞0，則f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增；
當-1＜x＜3時，f′（x）＜0，則f（x）在（-1，3）上單調(diào)遞減；
當x＞3時，f′（x）＞0，f（x）在（3，+∞）上單調(diào)遞增；
∴當x=-1時，f（x）取得極大值為：f（-1）=；
當x=3時，f（x）取得極小值為：=-6．
（2）∵
問題轉(zhuǎn)化為方程g′（x）=0在區(qū)間（-1，1）內(nèi)有解，
∴g′（-1）•g′（1）＜0或
解得a＜-1或a＞，
故a的取值范圍為：（-∞，-1）∪（，+∞）．
（3）∵f'（x）=x²-2x+a，∴△=4-4a=4（1-a）．
①若a≥1，則△≤0，∴f'（x）≥0在R上恒成立，
∴f（x）在R上單調(diào)遞增．∵f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0，
∴當a≥1時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．
②若a＜1，則△＞0，
∴f'（x）=0有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設為x₁，x₂，（x₁＜x₂）．
∴x₁+x₂=2，x₁x₂=a．
當x變化時，f′（x），f（x）的取值情況如下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∵，
∴．∴===，
同理f（x₂）=．
∴=
==．
令f（x₁）•f（x₂）＞0，解得a＞0．
而當0＜a＜1時，f（0）=-a＜0，f（3）=2a＞0，
故當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點．
綜上所述，a的取值范圍是（0，+∞）．
分析：（1）當a=-3時，求出導函數(shù)f′（x）的零點，然后判斷導數(shù)在零點兩側的符號，由此可得極值情況；
（2）g（x）在區(qū)間（-1，1）有極值，即g′（x）=0在（-1，1）內(nèi)有解，且在解的兩側導數(shù)異號；
（3）函數(shù)f（x）的圖象與x軸有且只有一個交點，即函數(shù)f（x）只有一個零點，用導數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)性、極值，由零點存在的條件可得關于a的約束條件，由此可求其范圍．
點評：本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件，可導函數(shù)f（x）在點x₀處取得極值的充要條件是f′（x₀）=0，且f′（x）在x₀左右兩側異號．