Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³+3|x-a|（a＞0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，曲線y=f（x）上P點(diǎn)處的切線與直線x-3y-2=0垂直，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解斜率判斷即可；
（2）求解導(dǎo)數(shù)f′（x）=3x²+3＞0，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷即可，注意分類討論思想的運(yùn)用．

解答 解：（1）∵直線x-3y-2=0的斜率為$\frac{1}{3}$，
∴切線的斜率為-3．
由f（x）=x³+3|x-1|得：
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=x³+3x-3，f′（x）=3x²+3=-3不成立，∴切線不存在；
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=x³-3x+3，f′（x）=3x²-3=-3，
∴x=0，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）．                       
（2）當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=x³+3x-3a，f′（x）=3x²+3＞0，
∴f（x）單調(diào)遞增．                        
當(dāng)x＜a時(shí)，f（x）=x³-3x+3a，
f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
若0＜a≤1，f′（x）=0時(shí)，x=-1；f′（x）＞0時(shí)，x＜-1；f′（x）＜0時(shí)，-1＜x＜a；
若a＞1，f′（x）=0時(shí)，x=±1；f′（x）＞0時(shí)，x＜-1或1＜x＜a；f′（x）＜0時(shí)，-1＜x＜1．
綜上可得：當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，a）；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性中的運(yùn)用，分類討論等思想的運(yùn)用，綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．