【題目】已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an1(n≥2,n∈N+).
(1)設bn=an+1+an(n∈N+),求證{bn}是等比數(shù)列;
(2)(i)求數(shù)列{an}的通項公式;
(ii)求證:對于任意n∈N+都有 + +…+ + 成立.

【答案】
(1)證明:已知數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=2,且an+1=2an+3an1(n≥2,n∈N+).

則:an+1+an=3(an+an1

即: ,

所以:

數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.


(2)解:(i)由于數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.

則: ,

整理得:

所以:

則: 是以( )為首項,﹣1為公比的等比數(shù)列.

所以:

求得:

(ii)由于: ,

所以: ,

則:(1)當n為奇數(shù)時,

當n為偶數(shù)時, ,

所以: = …+ +

,

所以:n∈k時,對任意的k都有 恒成立


【解析】(1)利用已知條件對已知的數(shù)列關(guān)系式進行恒等變形,進一步的出數(shù)列是等比數(shù)列.(2)(i)根據(jù)(1)的結(jié)論進一步利用恒等變換,求出數(shù)列的通項公式.(ii)首先分奇數(shù)和偶數(shù)分別寫出通項公式,進一步利用放縮法進行證明.
【考點精析】本題主要考查了等比關(guān)系的確定和數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識點,需要掌握等比數(shù)列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷;數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系才能正確解答此題.

練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖所示的空間幾何體中,底面四邊形為正方形, , ,平面平面, , , .

(1)求二面角的大;

(2)若在平面上存在點,使得平面,試通過計算說明點的位置.

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【題目】某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動,有甲、乙兩個抽獎方案供員工選擇.

方案甲:員工最多有兩次抽獎機會,每次抽獎的中獎率均為,第一次抽獎,若未中獎,則抽獎結(jié)束,若中獎,則通過拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣,決定是否繼續(xù)進行第二次抽獎。規(guī)定:若拋出硬幣,反面朝上,員工則獲得500元獎金,不進行第二次抽獎;若正面朝上,員工則須進行第二次抽獎,且在第二次抽獎中,若中獎,則獲得1000元;若未中獎,則所獲得獎金為0元.

方案乙:員工連續(xù)三次抽獎,每次中獎率均為,每次中獎均可獲得獎金400元.

(1)求某員工選擇方案甲進行抽獎所獎金(元)的分布列;

(2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎,哪個方案更劃算?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某化工廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料,需要A,B,C三種主要原料,生產(chǎn)1扯皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸數(shù)如表所示:

A

B

C

4

8

3

5

5

10

現(xiàn)有A種原料200噸,B種原料360噸,C種原料300噸,在此基礎上生產(chǎn)甲、乙兩種肥料.已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料,產(chǎn)生的利潤為2萬元;生產(chǎn)1車品乙種肥料,產(chǎn)生的利潤為3萬元、分別用x,y表示計劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù).
(1)用x,y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關(guān)系式,并畫出相應的平面區(qū)域;
(2)問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料,求出此最大利潤.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,∠BAC=90°,AB=AC=2, .M,N分別為BC和CC1的中點,P為側(cè)棱BB1上的動點.

(1)求證:平面APM⊥平面BB1C1C;
(2)若P為線段BB1的中點,求證:A1N∥平面APM;
(3)試判斷直線BC1與平面APM是否能夠垂直.若能垂直,求PB的值;若不能垂直,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

(1)求的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù), 是函數(shù)的兩個零點, 是函數(shù)的導函數(shù),證明: .

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設已知雙曲線的焦點為,過的直線與曲線相交于兩點.

(1)若直線的傾斜角為,且,求;

(2)若,橢圓上兩個點滿足: 三點共線且,求四邊形的面積的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ACBCCC1ACBC, DAB的中點.

Ⅰ)求證:CD⊥平面A1ABB1;

Ⅱ)求證:AC1∥平面CDB1

Ⅲ)線段AB上是否存在點M,使得A1M⊥平面CDB1?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】定義在區(qū)間上的函數(shù),如果對任意,都有成立,則稱在區(qū)間上可被替代, 稱為“替代區(qū)間”.給出以下問題:

在區(qū)間上可被替代;

②如果在區(qū)間可被替代,則

③設,則存在實數(shù)及區(qū)間, 使得在區(qū)間上被替代.

其中真命題是

A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①②

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