Question

【題目】邊長(zhǎng)為2正方體中，點(diǎn)E在棱CD上.

（1）求證：；

（2）若E是CD中點(diǎn)，求與平面所成的角的正弦值；

（3）設(shè)M在棱上，且，是否存在點(diǎn)E，使平面⊥平面，若存在，指出點(diǎn)E的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2） （3）為的中點(diǎn)時(shí)，平面⊥平面.

【解析】

（1）建立坐標(biāo)系，設(shè)出正方體的棱長(zhǎng)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出要證的兩條線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的向量坐標(biāo)，求兩個(gè)向量的數(shù)量積，得到兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，得到對(duì)應(yīng)的兩條直線(xiàn)垂直．
（2）設(shè)出平面的一個(gè)法向量，利用這個(gè)法向量與平面上的兩個(gè)不共線(xiàn)的向量的數(shù)量積為0，求出一個(gè)法向量，利用公式可得到線(xiàn)面角的正弦值．
（3）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，得到平面的一個(gè)法向量，根據(jù)兩個(gè)平面垂直，得到對(duì)應(yīng)的兩個(gè)平面的法向量的數(shù)量積是0，得到關(guān)于的方程，解方程即可，舍去不合題意的結(jié)果

在正方體中，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，,

（1）設(shè)，則,

所以,所以

故.

(2) 若E是CD中點(diǎn)，則，,

設(shè)出平面的一個(gè)法向量

則即

取，得，又

則

所以與平面所成的角的正弦值為

（3）設(shè)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，設(shè)平面的一個(gè)法向量

,

則即

取，得，

由M在上，且，則

設(shè)平面的一個(gè)法向量

,

則即

取，得，

平面⊥平面，則，解得或（舍）

所以當(dāng)，即為的中點(diǎn)時(shí)，平面⊥平面，