Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y） （x，y∈R），且當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）≠0．
（1）求證：f（0）=0
（2）證明：f（x）是偶函數(shù)．并求f（x）的表達(dá)式
（3）若f（x）=alnx有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0，
∴f（0）=2f（0） ∴f（0）=0；
（2）令x=y=1代入f（xy）=f（x）f（y）
∴f（1）=f（1）2，
∵當(dāng)x≠0時(shí)，f（x）≠0，
∴f（1）=1，
令y=x代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y） （x，y∈R），
f（2x）=2f（x）+2x²，f（2x）=f（2）f（x），
∴f（2）f（x）=2f（x）+2x²， ∵f（2）=2f（1）+2=4，
∴f（x）=x²，f（﹣x）=f（x）
∴f（x）為偶函數(shù)；
（3）∵f（x）=alnx有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解，
∴令h（x）=f（x）﹣alnx=x²﹣xlnx，
∴h'（x）=2x﹣，令h'（x）=0，解得x=±，
當(dāng)﹣＜x＜時(shí)，h'（x）＜0，f（x）單調(diào)減函數(shù)；
當(dāng)x≥或x≤﹣時(shí)，h'（x）＞0，f（x）單調(diào)增函數(shù)；
如下圖：要求h（x）與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，可得h（﹣）=0，
∴a=