Question

某海濱城市坐落在一個三角形海域的頂點O處（如圖），一條海岸線AO在城市O的正東方向，另一條海岸線OB在城市O北偏東θ(tanθ=

1

3

)方向，位于城市O北偏東

π

2

-α(cosα=

3

5

)方向15km的P處有一個美麗的小島．旅游公司擬開發(fā)如下一條旅游觀光線路：從城市O出發(fā)沿海岸線OA到達C處，再從海面直線航行，途經(jīng)小島P到達海岸線OB的D處，然后返回城市O．為了節(jié)省開發(fā)成本，要求這條旅游觀光線路所圍成的三角形區(qū)域面積最小，問C處應(yīng)選址何處？并求這個三角形區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析：本題利用解析法求解．先以O(shè)為原點，直線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．得到直線OB的方程及點P的坐標(biāo)為，進而得到三角形區(qū)域的面積表達式最后利用基本不等式求得面積S_△OCD的最小值即可．

解答：解：以O(shè)為原點，直線OA為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．直線OB的傾斜角為

π

2

-θ，
從而直線OB的方程為y=3x．（2分）
由已知∠POC=α，|OP|=15，cosα=

3

5

，得點P的坐標(biāo)為（9，12）．（4分）
設(shè)點C的坐標(biāo)為（t，0），則直線PC的方程為：y=

12

9-t

(x-t)(t≠9)，（5分）
聯(lián)立y=3x，得y=

12

9-t

(

y

3

-t)，∴yD=

12t

t-5

，∴t＞5．（（7分））
∴S△OCD=

1

2

|OC|•yD=

1

2

t•

12t

t-5

=

6t2

t-5

（9分）
=

6[(t-5)+5]2

t-5

=6[(t-5)+

25

t-5

+10]≥6•[2

(t-5)• 25 t-5

+10]=120．（11分）
上式當(dāng)且僅當(dāng)t-5=

25

t-5

＞0，即t=10時取等號．
而當(dāng)t=9時，S△OCD=

1

2

×9×27=

243

2

＞120
∴當(dāng)t=10時，S_△OCD取最小值120．（14分）
答：當(dāng)C地處于城市O正東方向10km處時，能使三角形區(qū)域面積最小，其最小面積為120（km）²．（16分）

點評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、直線的方程、基本不等式，考查解析法，屬于基礎(chǔ)題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．