Question

20．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax-$\frac{1-a}{x}$，a≤$\frac{1}{2}$時，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 求導(dǎo)，利用二次求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性判斷導(dǎo)函數(shù)的正負，求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：f′（x）=-$\frac{a{x}^{2}-x-1+a}{{x}^{2}}$  x＞0
令h（x）=ax²-x-1+a
h′（x）=2ax-1
當a≤0時，h′（x）＜0
h（x）遞減
∴h（x）＜h（0）=-1+a＜0
f′（x）＞0，f（x）遞增
當0＜a≤$\frac{1}{2}$
當0＜x＜$\frac{1}{2a}$時，h′（x）＜0
h（x）遞減
∴h（x）＜h（0）=-1+a＜0
f′（x）＞0，f（x）遞增
當x＞$\frac{1}{2a}$時，h′（x）＞0
h（x）遞增
令h（x）=0得x=$\frac{1+\sqrt{1-4a（a-1）}}{2a}$
當$\frac{1}{2a}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{1-4a（a-1）}}{2a}$時，h（x）＜0，
f′（x）＞0，f（x）遞增
當x＞$\frac{1+\sqrt{1-4a（a-1）}}{2a}$時，h（x）＞0，
f′（x）＜0，f（x）遞減
故當0＜x$\frac{1+\sqrt{1-4a（a-1）}}{2a}$時，f（x）遞增，當x＞$\frac{1+\sqrt{1-4a（a-1）}}{2a}$時，f（x）遞減

點評 考查了二次求導(dǎo)和求根公式的綜合利用．