Question

已知點(diǎn)B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直線上，點(diǎn)A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…，A_n（x_n，0）順次為x軸上的點(diǎn)，其中x₁=a（0＜a＜1），對(duì)于任意n∈N^*，點(diǎn)A_n，B_n，A_n+1構(gòu)成以∠B_n為頂角的等腰三角形，設(shè)△A_nB_nA_n+1的面積為S_n，
（1）證明：數(shù)列{y_n}是等差數(shù)列；
（2）求S_2n-1（用a和n的代數(shù)式表示）；
（3）設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為T_n，判斷T_n與（n∈N^*）的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由數(shù)列的函數(shù)特性，要證明數(shù)列{y_n}是等差數(shù)列，我們可以根據(jù)已知點(diǎn)B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直線上，進(jìn)而給出數(shù)列{y_n}的通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式法證明．
（2）由已知易得，進(jìn)一步可以證明數(shù)列{x_n}所有的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，所有的偶數(shù)項(xiàng)也成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質(zhì)易得A_2n-1（2n+a-2，0），A_2n（2n-a，0），結(jié)合（1）的結(jié)論和三角形面積公式，即可給出S_2n-1的表達(dá)式．
（3）由（2）的結(jié)論，易給出數(shù)列前n項(xiàng)和為T_n的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法，化簡(jiǎn)T_n的表達(dá)式再與進(jìn)行比較，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）由于點(diǎn)B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），，B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直線上，
則，
因此，所以數(shù)列{y_n}是等差數(shù)列；
（2）由已知有，那么x_n+x_n+1=2n，同理x_n+1+x_n+2=2（n+1），
以上兩式相減，得x_n+2-x_n=2，
∴x₁，x₃，x₅，…，x_2n-1，成等差數(shù)列；x₂，x₄，x₆，…，x_2n，也成等差數(shù)列，
∴x_2n-1=x₁+（n-1）×2=2n+a-2，x_2n=x₂+（n-1）×2=（2-a）+（n-1）×2=2n-a，
點(diǎn)A_2n-1（2n+a-2，0），A_2n（2n-a，0），
則|A_2n-1A_2n|=2（1-a），|A_2nA_2n+1|=2a，
而，
∴；
（3）由（2）得：，
則
而S_2nS_2n-1＞0，則，
即
∴
∴
∴
由于，
而，
則，從而，
同理：

以上n+1個(gè)不等式相加得：
即，
從而．
點(diǎn)評(píng)：要判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差（比）數(shù)列，我們常用如下幾種辦法：①定義法，判斷數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)之間的差（比）是否為定值；②等差（比）中項(xiàng)法，判斷是否每一項(xiàng)都是其前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差（比）中項(xiàng)；③通項(xiàng)公式法，判斷其通項(xiàng)公式是否為一次（指數(shù)）型函數(shù)；④前n項(xiàng)和公式法．