Question

已知點(diǎn)M（x，y）（x≠0）在拋物線E：y²=2px（p＞0）上，拋物線的焦點(diǎn)為F．有以下命題：
①拋物線E的通徑長(zhǎng)為2p；
②若以M為切點(diǎn)的拋物線E的切線為l，則直線y=y與直線l所成的夾角和直線MF與直線l所成的夾角相等；
③若2p=1，且△MON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，N在拋物線E上）為正三角形，則；
④若2p=1，，則拋物線E上一定存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=-x+b對(duì)稱．
其中你認(rèn)為正確的所有命題的序號(hào)為    ．

Answer 1

【答案】分析：①拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)x=時(shí)，y=±p，故可求拋物線E的通徑長(zhǎng)；
②求出切線的斜率，直線MF的斜率，直線y=y的斜率，利用夾角公式可知結(jié)論正確；
③由題意，M，N關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)直線OM的方程為y=，即，代入拋物線E：y²=x，求得M的縱坐標(biāo)，即可判斷；
④假設(shè)拋物線上的兩點(diǎn)（x₁，y₁），（x₂，y₂），這兩點(diǎn)所在直線（設(shè)為y=x+a），應(yīng)與y=-x+b這條直線垂直，且中點(diǎn)在直線y=-x+b上，即可求解．
解答：解：①拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)x=時(shí)，y=±p，∴拋物線E的通徑長(zhǎng)為2p，故①正確；
②不妨設(shè)y＞0，則，求導(dǎo)函數(shù)可得y′=，∴切線的斜率為=，由于直線MF的斜率為，直線y=y的斜率為0，利用夾角公式可知直線y=y與直線l所成的夾角和直線MF與直線l所成的夾角相等，故②正確；
③由題意，M，N關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)直線OM的方程為y=，即，代入拋物線E：y²=x，所以y=，∴，故③不正確；
④假設(shè)拋物線上的兩點(diǎn)（x₁，y₁），（x₂，y₂），這兩點(diǎn)所在直線（設(shè)為y=x+a），應(yīng)與y=-x+b這條直線垂直，且中點(diǎn)在直線y=-x+b上．
聯(lián)立方程y=x+a，y²=x：得到x²+（2a-1）x+a²=0，∴1-4a＞0，∴a＜
∵x₁+x₂=1-2a，y₁+y₂=1，∴中點(diǎn)（，），代入直線y=-x+b得到=-+b
∴a+b=1，∴1-b＜，∴b＞
故④正確
故答案為：①②④
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的性質(zhì)，考查對(duì)稱性，解題的關(guān)鍵是利用拋物線方程，逐個(gè)判斷，屬于中檔題．