Question

若x∈（2，4），a=2x2，b=（2^x）²，c=22x，則a、b、c的大小關(guān)系是

a＞c＞b

．

Answer 1

分析：要比較a、b、c的大小關(guān)系，可以把a(bǔ)、b、c化簡(jiǎn)成以2為底的指數(shù)形式，主要是比較x²、2x、2^x的大小，然后借助于指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得結(jié)論．

解答：解：b=（2^x）²=2^2x，a、b、c都是以2為底的指數(shù)形式，y=2^t在R上是增函數(shù)，只需要比較它們的指數(shù)x²、2x、2^x的大小就可以，
作差法：
（1）比較b、c大小時(shí)
構(gòu)造f（x）=2^x-2x，則f^′（x）=2^xln2-2，f^′（x）為增函數(shù)，在x∈（2，4）上，最小值為4ln2-2，ln2≈0.6931，最小值大于0，故f^′（x）＞0．因此f（x）在（2，4）為增函數(shù)
又f（2）=0，所以當(dāng)x∈（2，4）時(shí)，f（x）＞0，則2^x＞2x      
∴c＞b
（2）比較a、c大小時(shí)
構(gòu)造g（x）=x²-2^x，則g（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)交點(diǎn)（2，4），（4，16）且在x∈（2，4）上有x²＞2^x，
∴a＞c
綜上，a、b、c的大小關(guān)系是a＞c＞b
故答案為a＞c＞b

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式的大小比較，解答的關(guān)鍵是比較x²、2x、2^x的大小，其中運(yùn)用了構(gòu)造法，訓(xùn)練了函數(shù)的零點(diǎn)問題，同時(shí)考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．