Question

設橢圓的左焦點為F，離心率為，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為．
（Ⅰ） 求橢圓的方程；
（Ⅱ） 設A，B分別為橢圓的左，右頂點，過點F且斜率為k的直線與橢圓交于C，D兩點．若，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先根據橢圓方程的一般形式，令x=c代入求出弦長使其等于，再由離心率為，可求出a，b，c的關系，進而得到橢圓的方程．
（II）直線CD：y=k（x+1），設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由由消去y得，（2+3k²）x²+6kx+3k²-6=0，再由韋達定理進行求解．求得，利用=8，即可求得k的值．
解答：解：（I）根據橢圓方程為．
∵過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為，
∴=，
∵離心率為，∴=，
解得b=，c=1，a=．
∴橢圓的方程為；
（II）直線CD：y=k（x+1），
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由消去y得，（2+3k²）x²+6kx+3k²-6=0，
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=，又A（-，0），B（，0），
∴
=（x₁+，y₁）•（-x₂．-y₂）+（x₂+，y₂）•（-x₁．-y₁）
=6-（2+2k²）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）-2k²，
=6+=8，解得k=．
點評：本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質等，考查方程思想．在橢圓中一定要熟練掌握a，b，c之間的關系、離心率、準線方程等基本性質．