Question

【題目】已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線與圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的離心率及左焦點(diǎn)的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求證：直線與橢圓相切；

（Ⅲ）判斷是否為定值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）答案見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由題意可得，，據(jù)此確定離心率即可；

（2）由題意可得.分類(lèi)討論和兩種情況證明直線與橢圓相切即可；

（3）設(shè)，，當(dāng)時(shí)，易得．當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可得，結(jié)合韋達(dá)定理和平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算可得．據(jù)此即可證得為定值．

（1）由題意，，

所以離心率，左焦點(diǎn)．

（2）由題知，，即.

當(dāng)時(shí)直線方程為或，直線與橢圓相切．

當(dāng)時(shí)，由得，

即

所以

故直線與橢圓相切．

（3）設(shè)，，

當(dāng)時(shí)，，，，

，

所以，即．

當(dāng)時(shí)，由得，

則，，

．

因?yàn)?/span>

．

所以，即．

故為定值．