Question

【題目】雙曲線的離心率為2，右焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為 。

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在過點(diǎn)且與雙曲線的右支角不同的兩點(diǎn)的直線，當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，使得點(diǎn)在直線上的射影點(diǎn)滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在這樣的直線滿足條件，其方程為或

【解析】試題分析：（1）由點(diǎn)到直線的距離公式可知： ，結(jié)合即可求得，進(jìn)而根據(jù)離心率可得，從而求得方程；

（2）（2）假設(shè)存在滿足條件的直線l，直線l的斜率不存在時(shí)，求得N，P，Q坐標(biāo)，由，此時(shí)不滿足條件；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y=k（x-2），代入雙曲線方程，由韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即，代入即可求得k的值，求得直線方程．

試題解析：

（1）雙曲線焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)右焦點(diǎn)為(c,0),一條漸近線為bx-ay=0.

由點(diǎn)到直線的距離公式可知： ,由，解得.

由雙曲線的離心率為，解得.

所以，雙曲線的方程為.

（2）因?yàn)?/span>，所以是的中點(diǎn)，

假設(shè)存在滿足條件的直線，

若直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)點(diǎn)即為，可解得，

所以，所以，此時(shí)不滿足條件。

若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則的方程為，聯(lián)立，

得，要使得與雙曲線交于右支的不同的兩點(diǎn)，

須要，即，可得，

又，所以

又因?yàn)?/span>在直線上的射影為滿足，

所以，

所以，

即，

可得或，又因?yàn)?/span>，所以，即，

所以存在這樣的直線滿足條件，其方程為或。