Question

已知橢圓（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為，過F₁的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，且△MNF₂的周長(zhǎng)為8．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過原點(diǎn)O的兩條互相垂直的射線與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

解：（I）由題意知，4a=8，所以a=2．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3634.png' />，
所以，
所以b²=3．
所以橢圓C的方程為．
（II）由題意，當(dāng)直線AB的斜率不存在，此時(shí)可設(shè)A（x₀，x₀），B（x₀，-x₀）．
又A，B兩點(diǎn)在橢圓C上，
所以，．
所以點(diǎn)O到直線AB的距離．
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m．
由消去y得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
由已知△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
所以，．
因?yàn)镺A⊥OB，所以x₁x₂+y₁y₂=0．
所以x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，即．
所以．
整理得7m²=12（k²+1），滿足△＞0．
所以點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．
分析：（Ⅰ）由△MNF₂的周長(zhǎng)為8，得4a=8，由，得，從而可求得b；
（Ⅱ）分情況進(jìn)行討論：由題意，當(dāng)直線AB的斜率不存在，此時(shí)可設(shè)A（x₀，x₀），B（x₀，-x₀），再由A、B在橢圓上可求x₀，此時(shí)易求點(diǎn)O到直線AB的距離；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，代入橢圓方程消掉y得x的二次方程，知△＞0，由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，整理后代入韋達(dá)定理即可得m，k關(guān)系式，由點(diǎn)到直線的距離公式可求得點(diǎn)O到直線AB的距離，綜合兩種情況可得結(jié)論，注意檢驗(yàn)△＞0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查學(xué)生分析解決問題的能力，弦長(zhǎng)公式、韋達(dá)定理是解決該類問題的常用知識(shí)，要熟練掌握．