Question

17．在△ABC中，角A，B，C的對邊邊長分別為a，b，c且滿足csinA=acosC，則$\sqrt{3}$sinA-cos（B+$\frac{π}{4}$）的最大值為2．

Answer 1

分析 由題意和正弦定理可得B=$\frac{3π}{4}$-A，0＜A＜$\frac{3π}{4}$，進(jìn)而由三角函數(shù)公式可得$\sqrt{3}$sinA-cos（B+$\frac{π}{4}$）=2sin（A+$\frac{π}{6}$），可得最值．

解答 解：∵在△ABC中，角A，B，C的對邊邊長分別為a，b，c且滿足csinA=acosC，
∴由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，∵sinA≠0，
∴sinC=cosC，∴C=$\frac{π}{4}$，∴B=$\frac{3π}{4}$-A，0＜A＜$\frac{3π}{4}$，
∴$\sqrt{3}$sinA-cos（B+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{3}$sinA-cos（$\frac{3π}{4}$-A+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{3}$sinA+cosA=2sin（A+$\frac{π}{6}$），
∴當(dāng)A=$\frac{π}{3}$時，上式取到最大值2
故答案為：2

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及正弦定理和三角函數(shù)公式，屬基礎(chǔ)題．