Question

如圖，已知四棱錐，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，∠ABC=60°，E是CD的中點，F為PC上一點，滿足FC=2PF．
（1）證明：AE⊥PB；
（2）求直線AF與平面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的性質

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）通過已知條件證明AE⊥平面PAB，進而可得直線與直線的垂直；
（2）過A作AM⊥PE，垂足為M，可證∠AFM即為直線線AF與平面PCD所成角，分別在RT△PAE和RT△PAC中，求解AM和AF，由正弦函數的定義可得．

解答： 解：（1）∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，
∴△ACD為正三角形，
∵E是CD的中點，∴AE⊥CD，
又∵AB∥CD，∴AE⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE，
又AB?平面PAB，PA?平面PAB且PA∩AB=A，
∴AE⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
∴AE⊥PB
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵AE⊥CD，PA?平面PAE，AE?平面PAE，且AE∩PA=A，
∴CD⊥平面PAE，又CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAE，
過A作AM⊥PE，垂足為M，又平面PCD∩平面PAE=PE，AM?平面PAE，
∴AM⊥平面PCD，∠AFM即為直線線AF與平面PCD所成角，
在RT△PAE中，AE=

3

2

AB=

3

，PA=2，∴AM=

2 21

7

，
在RT△PAC中，AC=AB=2，PA=2，∴AF=

2 5

3

，
在RT△AMF中，sin∠AFM=

AM

AF

=

3 105

35

，
∴直線AF與平面PCD所成角的正弦值為：

3 105

35

點評：本題考查直線與平面的位置關系，涉及線面角和垂直的判定和性質，屬中檔題．