給定橢圓： ，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”．若橢圓的一個焦點為，且其短軸上的一個端點到的距離為.

(Ⅰ)求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

(Ⅱ)點是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個動點，過動點作直線，使得與橢圓都只有一個交點，試判斷是否垂直，并說明理由．

 

【答案】

(Ⅰ) ，；(Ⅱ)垂直.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)利用焦點坐標(biāo)求出，利用短軸上的一個端點到的距離為，求出，解出，，寫出橢圓方程，通過得到的，求出準(zhǔn)圓的半徑，直接寫出準(zhǔn)圓方程；(Ⅱ)分情況討論：①當(dāng)中有一條直線的斜率不存在時，②當(dāng)的斜率都存在時.

試題解析：(Ⅰ)由題意可知，，則，，

所以橢圓方程為.                   2分

易知準(zhǔn)圓半徑為，

則準(zhǔn)圓方程為.                      4分

(Ⅱ)①當(dāng)中有一條直線的斜率不存在時，

不妨設(shè)的斜率不存在，因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為，

當(dāng)的方程為時，此時與準(zhǔn)圓交于點，，

此時經(jīng)過點或且與橢圓只有一個公共點的直線是或，

即為或，顯然直線垂直；           6分

同理可證直線的方程為時，直線也垂直．      7分

②當(dāng)的斜率都存在時，設(shè)點，其中.

設(shè)經(jīng)過點與橢圓只有一個公共點的直線為，

由消去，得.

由化簡整理得，.   因為，

所以有.                 10分

設(shè)直線的斜率分別為，因為與橢圓只有一個公共點，

所以滿足方程，

所以，即垂直．                  12分

綜合①②知，垂直．                        13分

考點：1.橢圓方程；2.分類討論思想解題.

 

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（本題滿分12分）給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”。若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為.

（Ⅰ）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程.

（Ⅱ）點是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個動點，過動點作直線使得與橢圓都只有一個交點，且分別交其“準(zhǔn)圓”于點，求證：為定值.

 

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（Ⅰ）求橢圓及其“伴隨圓”的方程；

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給定橢圓：，稱圓心在原點，半徑為的圓是

橢圓的“準(zhǔn)圓”。若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距

離為.

（Ⅰ）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程.

（Ⅱ）點是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個動點，過動點作直線使得與橢

圓都只有一個交點，且分別交其“準(zhǔn)圓”于點；

（1）當(dāng)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點時，求的方程.

（2）求證：為定值.

 

 

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給定橢圓：  ，稱圓心在坐標(biāo)原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”． 已知橢圓的兩個焦點分別是，橢圓上一動點滿足．

(Ⅰ) 求橢圓及其“伴隨圓”的方程；

（Ⅱ） 過點P作直線,使得直線與橢圓只有一個交點，且截橢圓的“伴隨圓”所得的弦長為．求出的值．

 

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