函數(shù)f（x）=x4-4x3+ax2-1在[0，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）設g（x）=bx2-1，若關于x的方程f（x）=g（x）的解集中含有3個元素，求實數(shù)b的取值范圍．
分析：（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)原函數(shù)在[0，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減，得導函數(shù)在兩個區(qū)間內的符號，由導函數(shù)在兩區(qū)間內的符號列式求解a的值；
（2）由方程f（x）=g（x）的解集中含有3個元素，得到得x2（x2-4x+4-b）=0有3個不相等的實根，轉化為二次方程有兩個不同的實根，然后由二次方程的判別式大于0求解b的范圍．
解答：解：（1）∵f'（x）=4x3-12x2+2ax=2x（2x2-6x+a），
又 f（x）在[0，1]上單調遞增，在[1，2]上單調遞減．
∴在[0，1]上恒有f'（x）≥0，在[1，2]上恒有f'（x）≤0，
令g（x）=2x2-6x+a，
即在[0，1]上恒有g（x）≥0，在[1，2]上恒有g（x）≤0，
即
g(1)=a-4=0
g(2)=a-4≤0
，∴a=4．
（2）由f（x）=g（x）的解集中含有3個元素，得x2（x2-4x+4-b）=0有3個不相等的實根．
故x2-4x+4-b=0有兩個不相等的非零實根，∴△=16-4（4-b）＞0，且4-b≠0．
解得：0＜b＜4，或b＞4，
∴b∈（0，4）∪（4，+∞）．
點評：本題考查了函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，考查了根的存在性與根的個數(shù)的判斷，考查了數(shù)學轉化思想方法，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x4+ax3+2x2+b（x∈R），其中a，b∈R．
（Ⅰ）當a=-
103
時，討論函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）僅在x=0處有極值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若對于任意的a∈[-2，2]，不等式f（x）≤1在[-1，1]上恒成立，求b的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=x4-2ax2，g（x）=1．
（1）求證：函數(shù)f（x）與g（x）的圖象恒有公共點；
（2）當x∈（0，1]時，若函數(shù)f（x）圖象上任一點處切線斜率均小于1，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）當x∈[0，1]時，關于x的不等式|f′（x）|＞g（x）的解集為空集，求所有滿足條件的實數(shù)a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如果函數(shù)f（x）=x4-x2，那么 f′（i）=（　�。� （i是虛數(shù)單位）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d．
（1）當a=d=-1，b=c=0時，若函數(shù)f（x）的圖象與x軸所有交點的橫坐標的和與積分別為m，n．
（i）求證：f（x）的圖象與x軸恰有兩個交點；
（ii）求證：m2=n-n3．
（2）當a=c，d=1時，設函數(shù)f（x）有零點，求a2+b2的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f′（3）是f（x）的導函數(shù)在x=3時的值，若函數(shù)f（x）=x4-f′（3）x，則f′（3）等于（　�。�

查看答案和解析>>

同步練習冊答案