已知點P(1+cosα,sinα),參數(shù)α∈[0,π],點Q在曲線C:ρ=
10
2
sin(θ-
π
4
)
上.
(Ⅰ)求在直角坐標系中點P的軌跡方程和曲線C的方程;
(Ⅱ)求|PQ|的最小值.
考點:參數(shù)方程化成普通方程
專題:坐標系和參數(shù)方程
分析:(Ⅰ)設點P的坐標為(x,y),則有
x=1+cosα
y=sinα
,消去參數(shù),結(jié)合α∈[0,π],可得點P的軌跡.根據(jù)曲線C的極坐標方程即 ρsinθ-ρcosθ=10,可得曲線C的直角坐標方程.
(Ⅱ)由題意可得點Q在直線x-y+10=0 上,點P在半圓上,求出半圓的圓心C(1,0)到直線x-y+10=0的距離,再減去1,即得所求.
解答: 解:(Ⅰ)設點P的坐標為(x,y),則有
x=1+cosα
y=sinα
,消去參數(shù)α,
可得 (x-1)2+y2=1.
由于α∈[0,π],∴y≥0,故點P的軌跡是上半圓:(x-1)2+y2=1 (y≥0).
∵曲線C:ρ=
10
2
sin(θ-
π
4
)
,即 1=
2
ρ(
2
2
sinθ-
2
2
cosθ),
即 ρsinθ-ρcosθ=10,故曲線C的直角坐標方程:x-y+10=0.
(Ⅱ)由題意可得點Q在直線x-y+10=0 上,點P在半圓上,
半圓的圓心C(1,0)到直線x-y+10=0的距離等于
|1-0+10|
2
=
11
2
2

所以|PQ|的最小值為
11
2
2
-1.
點評:本題主要考查把參數(shù)方程、極坐標化為直角坐標方程的方法,點到直線的距離公式的應用,屬于基礎(chǔ)題.
練習冊系列答案
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2
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ax2
2
+(a-1)x-
3
2a
,其中a>0
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