Question

請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)LED霓虹燈燈箱．現(xiàn)有一批LED霓虹燈燈箱材料如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形LED散片，邊CD上有一以其中點(diǎn)M為圓心，半徑為2cm的半圓形缺損，因此切去陰影部分（含半圓形缺損）所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得ABCD四個(gè)點(diǎn)重合于空間一點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀有蓋的LED
霓虹燈燈箱，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=FB=xcm．
（1）用規(guī)格長(zhǎng)×寬×高=145cm×145cm×75cm外包裝盒來裝你所設(shè)計(jì)的LED霓虹燈燈箱，燈箱彼此間隔空隙至多0.5cm，請(qǐng)問包裝盒至少能裝多少只LED霓虹燈燈箱（每只燈箱容積V最大時(shí)所裝燈箱只數(shù)最少）？
（2）若材料成本2元/cm²，霓虹燈燈箱銷售時(shí)以霓虹燈燈箱側(cè)面積S（cm²）為準(zhǔn)，售價(jià)為2.4元/cm²．試問每售出一個(gè)霓虹燈燈箱可獲最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,基本不等式在最值問題中的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)體積公式，先計(jì)算出每只燈箱容積V，再求導(dǎo)，求出最值，問題得以解決．
（2）根據(jù)表面積公式，計(jì)算出霓虹燈燈箱側(cè)面積S，利用配方法求出最值，繼而求出利潤(rùn)．

解答： 解：（1）V=(

2

x)2×

2

2

×（60-2x）=2

2

x²（30-x），（0＜x＜30-2

2

），
∴V′=6

2

x（20-x），當(dāng)0＜x＜20時(shí)，V單調(diào)遞增，當(dāng)20＜x＜30-2

2

），V單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=2時(shí)，V最大．
此時(shí)正四棱柱形燈箱底面邊長(zhǎng)20

2

≈28.3（cm），高為10

2

≈14.1（cm），
用規(guī)格為145cm×145cm×75cm外包裝盒來裝燈箱，彼此間隔空隙至多0.5cm，至少裝下5×5×5=125個(gè)燈箱．
答：至少裝下125個(gè)燈箱．
（2）S=60²-4x²-（60-2x）²=240x-8x²=-8（x-15）²+1800（0＜x＜30-2

2

），
所以x=15cm時(shí)側(cè)面積最大，最大值是1800（cm²）此時(shí)獲利最大
最大利潤(rùn)為（2.4-2）×1800=720
答：每個(gè)燈箱最大利潤(rùn)720元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的構(gòu)建問題，并用導(dǎo)數(shù)求最值的問題，屬于中檔題．