Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F(xiàn)，G分別是PC，PD，BC的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PAB∥平面EFG；
（2）證明：平面EFG⊥平面PAD；
（3）在線段PB上確定一點(diǎn)Q，使PC⊥平面ADQ，并給出證明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：E，F(xiàn)分別是線段PC，PD的中點(diǎn)，所以EF∥CD，

又ABCD為正方形，AB∥CD，

所以EF∥AB，

又EF平面PAB，所以EF∥平面PAB．

因?yàn)镋，G分別是線段PC，BC的中點(diǎn)，所以EG∥PB，

又EG平面PAB，所以，EG∥平面PAB．

所以平面EFG∥平面PAB

（2）證明：因?yàn)镃D⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，所以CD⊥平面PAD，

又EF∥CD，所以EF⊥平面PAD，所以平面EFG⊥平面PAD

（3）證明：Q為線段PB中點(diǎn)時，PC⊥平面ADQ．

取PB中點(diǎn)Q，連接DE，EQ，AQ，

由于EQ∥BC∥AD，所以ADEQ為平面四邊形，

由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，

又AD⊥CD，PD∩CD=D，所以AD⊥平面PDC，

所以AD⊥PC，

又三角形PDC為等腰直角三角形，E為斜邊中點(diǎn)，所以DE⊥PC，

AD∩DE=D，所以PC⊥平面ADQ．

【解析】（1）運(yùn)用面面平行的判定定理，先證線面平行，即可得到證明；（2）由線面垂直的性質(zhì)和面面垂直的判定定理，即可得證；（3）Q為線段PB中點(diǎn)時，PC⊥平面ADQ．運(yùn)用線面垂直的判定定理即可得到結(jié)論．