Question

已知f（x）=2sin（2x+

π

6

），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期、單調(diào)區(qū)間和對稱軸．
（2）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，求f（x）值域．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)f（x）=2sin（2x+

π

6

），x∈R，可得它的周期，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）根據(jù)x∈[-

π

4

，

π

4

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）由于f（x）=2sin（2x+

π

6

），x∈R，故它的周期為

2π

2

=π，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

]，k∈z．
（2）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴當(dāng)2x+

π

6

=-

π

3

時(shí)，函數(shù)取得最小值為-

3

，
當(dāng)2x+

π

6

=

π

2

時(shí)，函數(shù)取得最大值為2，
故函數(shù)的值域?yàn)閇-

3

，2]．

點(diǎn)評：本題主要考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．