Question

已知f（x）=2sin（2x+

π

6

），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期、單調區(qū)間和對稱軸．
（2）當x∈[-

π

4

，

π

4

]時，求f（x）值域．

Answer 1

考點：三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）根據f（x）=2sin（2x+

π

6

），x∈R，可得它的周期，再根據正弦函數的單調區(qū)間求得f（x）的單調區(qū)間．
（2）根據x∈[-

π

4

，

π

4

]，利用正弦函數的定義域和值域求得函數的值域．

解答： 解：（1）由于f（x）=2sin（2x+

π

6

），x∈R，故它的周期為

2π

2

=π，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
可得函數的增區(qū)間為[kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

]，k∈z．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，
可得函數的減區(qū)間為[kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

]，k∈z．
（2）當x∈[-

π

4

，

π

4

]時，2x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴當2x+

π

6

=-

π

3

時，函數取得最小值為-

3

，
當2x+

π

6

=

π

2

時，函數取得最大值為2，
故函數的值域為[-

3

，2]．

點評：本題主要考查正弦函數的周期性、單調性、定義域和值域，屬于基礎題．