Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sinx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow$=（-sinx，2sinx），函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
（Ⅰ）求f（x）的單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若角C為銳角，且f（$\frac{C}{2}$-$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{3}$，a=$\sqrt{5}$，S_△ABC=2$\sqrt{5}$，求c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用平面向量數量積的運算，三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的單調遞增區(qū)間．
（Ⅱ）由f（$\frac{C}{2}$-$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{3}$，可解得sinC=$\frac{2}{3}$，結合C為銳角，利用同角三角函數基本關系式可求cosC，利用三角形面積公式可求b的值，進而利用余弦定理可求c的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$=（2sinx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow$=（-sinx，2sinx），函數f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$．
∴f（x）=-2sin²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x-1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）-1，…3分
∴令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為：[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z…6分
（Ⅱ）∵f（$\frac{C}{2}$-$\frac{π}{12}$）=$\frac{1}{3}$，可得：2sinC-1=$\frac{1}{3}$，解得sinC=$\frac{2}{3}$，
∵C為銳角，可得：cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，…8分
又∵a=$\sqrt{5}$，S_△ABC=2$\sqrt{5}$=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×b×\frac{2}{3}$，解得：b=6，
∴由余弦定理可得：c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}-2abcosC}$=$\sqrt{5+36-2\sqrt{5}×6×\frac{\sqrt{5}}{3}}$=$\sqrt{21}$…12分

點評 本題主要考查了平面向量數量積的運算，三角函數恒等變換的應用，同角三角函數基本關系式，三角形面積公式，余弦定理，正弦函數的圖象和性質的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．