Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是兩個邊長為2的正三角形，DC=4，O為BD的中點，E為PA的中點．
（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求證：OE∥平面PDC；
（Ⅲ）求直線CB與平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：設(shè)F為DC的中點，連接BF，則DF=AB．∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，∴四邊形ABFD為正方形．
∵O為BD的中點，∴O為AF，BD的交點，∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，…..（2分）
∵=，∴=，，
在三角形PAO中，PO²+AO²=PA²=4，∴PO⊥AO，…（4分）∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD． …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，所以過O分別做AD，AB的平行線，以它們做x，y軸，以O(shè)P為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
由已知得：A（-1，-1，0），B（-1，1，0），D（1，-1，0）F（1，1，0），C（1，3，0），
，．
則，，，．
∴，∴OE∥PF，∵OE?平面PDC，PF?平面PDC，∴OE∥平面PDC． …（9分）

（Ⅲ） 設(shè)平面PDC的法向量為，直線CB與平面PDC所成角θ，
則，即，解得，令z₁=1，
則平面PDC的一個法向量為，又，
則，∴直線CB與平面PDC所成角的正弦值為．…（14分）
分析：（Ⅰ）由條件先證明四邊形ABFD為正方形，由等腰三角形的性質(zhì)證明PO⊥BD，由勾股定理求得PO⊥AO，從而證得PO⊥平面ABCD．
（Ⅱ）過O分別做AD，AB的平行線，以它們做x，y軸，以O(shè)P為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出 和 的坐標(biāo)，由 可得 OE∥PF，從而證得OE∥平面PDC．
（Ⅲ） 設(shè)平面PDC的法向量為，直線CB與平面PDC所成角θ，求出一個法向量為，又，可得 和 夾角的余弦值，即為直線CB與平面PDC所成角的正弦值．
點評：本題考查證明線面平行、線面垂直的方法，求直線和平面所成的角，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，把CB和平面PDC所稱的角的正弦值轉(zhuǎn)化為CB和平面PDC的法向量夾角的余弦值，是解題的難點和關(guān)鍵．