18．設Sn是正項數(shù)列{an}的前n項和，且an和Sn滿足4Sn=（1+an）2（n=1，2，…），求{an}的通項公式．

分析 由4Sn=（1+an）2，得4Sn-1=（1+an-1）2，兩式相減得到an-an-1=2，由此能求出{an}的通項公式．

解答 解：∵Sn是正項數(shù)列{an}的前n項和，且an和Sn滿足4Sn=（1+an）2（n=1，2，…），
∴4Sn=（1+an）2，①
4Sn-1=（1+an-1）2，n≥2，②
①-②，得：4an=${{a}_{n}}^{2}-{{a}_{n-1}}^{2}+2{a}_{n}-2{a}_{n-1}$，n≥2
∴（an+an-1）（an-an-1）-2（an+an-1）=0，n≥2，
（an+an-1）（an-an-1-2）=0，
∵an＞0，∴an-an-1=2，
當n=1時，$4{S}_{1}=4{a}_{1}=（1+{a}_{1}）^{2}$，解得a1=1，
∴{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴an=1+（n-1）×2=2n-1．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．

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