Question

已知f（x）是二次函數(shù)，f′（x）是它的導函數(shù)，且對任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
（I）求f（x）的解析表達式；
（II）求證：當x＞1時，．

Answer 1

（I）解：設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），則f′（x）=2ax+b
∵f′（x）=f（x+1）+x²，
∴2ax+b=a（x+1）²+b（x+1）+c+x²，
∴2ax+b=（1+a）x²+（2a+b）x+a+b+c
∵對任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立．
∴
∴a=-1，b=0，c=1
∴f（x）=-x²+1；
（II）證明：令g（x）==
∴g′（x）=-2x-+4x²=
∵x＞1，∴g′（x）＞0
∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增
∴g（x）＞g（1）=0
∴＞0
∴當x＞1時，．
分析：（I）利用待定系數(shù)法，設出函數(shù)解析式，根據(jù)對任意的x∈R，f′（x）=f（x+1）+x²恒成立，建立方程，即可求得函數(shù)解析式；
（II）構(gòu)造函數(shù)g（x）=，證明函數(shù)在g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，由此可證不等式．
點評：本題考查函數(shù)解析式，考查導數(shù)知識的運用，考查利用導數(shù)證明不等式，解題的關鍵是構(gòu)造不等式，證明函數(shù)的單調(diào)性．