【題目】如圖所示,某地出土的一種“釘”是由四條線段組成,其結(jié)構(gòu)能使它任意拋至水平面后,總有一端所在的直線豎直向上.并記組成該“釘”的四條等長的線段公共點為,釘尖為.
(1)判斷四面體的形狀,并說明理由;
(2)設,當在同一水平面內(nèi)時,求與平面所成角的大。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示);
(3)若該“釘”著地后的四個線段根據(jù)需要可以調(diào)節(jié)與底面成角的大小,且保持三個線段與底面成角相同,若,,問為何值時,的體積最大,并求出最大值.
【答案】(1)正四面體;理由見解析(2);(3)當時,最大體積為:;
【解析】
(1)根據(jù)線段等長首先確定為四面體外接球球心;又底面,可知為正三棱錐;依次以為頂點均有正三棱錐結(jié)論出現(xiàn),可知四面體棱長均相等,可知其為正四面體;(2)由為四面體外接球球心及底面可得到即為所求角;設正四面體棱長為,利用表示出各邊,利用勾股定理構(gòu)造方程可求得,從而可求得,進而得到結(jié)果;(3)取中點,利用三線合一性質(zhì)可知,從而可用表示出底面邊長和三棱錐的高,根據(jù)三棱錐體積公式可將體積表示為關于的函數(shù),利用導數(shù)求得函數(shù)的最大值,并確定此時的取值,從而得到結(jié)果.
(1)四面體為正四面體,理由如下:
四條線段等長,即到四面體四個頂點距離相等 為四面體外接球的球心
又底面 在底面的射影為的外心
四面體為正三棱錐,即,
又任意拋至水平面后,總有一端所在的直線豎直向上,若豎直向上
可得:
可知四面體各條棱長均相等 為正四面體
(2)由(1)知,四面體為正四面體,且為其外接球球心
設中心為,則平面,如下圖所示:
即為與平面所成角
設正四面體棱長為
則,
在中,,解得:
即與平面所成角為:
(3)取中點,連接,
,為中點 且
,
令,,則
設,,則
令,解得:,
當時,;當時,
當時,取極大值,即為最大值:
即當時,取得最大值,最大值為:
此時,即
綜上所述,當時,體積最大,最大值為:
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某大型高端制造公司為響應《中國制造2025》中提出的堅持“創(chuàng)新驅(qū)動、質(zhì)量為先、綠色發(fā)展、結(jié)構(gòu)優(yōu)化、人才為本”的基本方針,準備加大產(chǎn)品研發(fā)投資,下表是該公司2017年5~12月份研發(fā)費用(百萬元)和產(chǎn)品銷量(萬臺)的具體數(shù)據(jù):
(1)根據(jù)數(shù)據(jù)可知與之間存在線性相關關系
(i)求出關于的線性回歸方程(系數(shù)精確到);
(ii)若2018年6月份研發(fā)投人為25百萬元,根據(jù)所求的線性回歸方程估計當月產(chǎn)品的銷量;
(2)公司在2017年年終總結(jié)時準備從該年8~12月份這5個月中抽取3個月的數(shù)據(jù)進行重點分析,求沒有抽到9月份數(shù)據(jù)的概率.
參考數(shù)據(jù): ,.
參考公式:對于一組數(shù)據(jù),,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為: ,.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知全集為R,函數(shù)f(x)=lg(1﹣x)的定義域為集合A,集合B={x|x2﹣x﹣6>0}.
(Ⅰ)求A∪B;
(Ⅱ)若C={x|m﹣1<x<m+1},C(A∩(RB)),求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著我國互聯(lián)網(wǎng)信息技術(shù)的發(fā)展,網(wǎng)絡購物已經(jīng)成為許多人消費的一種重要方式,某市為了了解本市市民的網(wǎng)絡購物情況,特委托一家網(wǎng)絡公示進行了網(wǎng)絡問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的10000名網(wǎng)民中隨機抽取了200人進行抽樣分析,得到了下表所示數(shù)據(jù):
經(jīng)常進行網(wǎng)絡購物 | 偶爾或從不進行網(wǎng)絡購物 | 合計 | |
男性 | 50 | 50 | 100 |
女性 | 60 | 40 | 100 |
合計 | 110 | 90 | 200 |
(1)依據(jù)上述數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為該市市民進行網(wǎng)絡購物的情況與性別有關?
(2)現(xiàn)從所抽取的女性網(wǎng)民中利用分層抽樣的方法再抽取人,從這人中隨機選出人贈送網(wǎng)絡優(yōu)惠券,求出選出的人中至少有兩人是經(jīng)常進行網(wǎng)絡購物的概率;
(3)將頻率視為概率,從該市所有的參與調(diào)查的網(wǎng)民中隨機抽取人贈送禮物,記經(jīng)常進行網(wǎng)絡購物的人數(shù)為,求的期望和方差.
附:,其中
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)的定義域為R,是的極大值點,以下結(jié)論一定正確的是________.
①,;
②是的極小值點;
③是的極小值點;
④是的極小值點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某廠生產(chǎn)不同規(guī)格的一種產(chǎn)品,根據(jù)檢測標準,其合格產(chǎn)品的質(zhì)量與尺寸之間近似滿足關系式為大于0的常數(shù)).按照某項指標測定,當產(chǎn)品質(zhì)量與尺寸的比在區(qū)間內(nèi)時為優(yōu)等品.現(xiàn)隨機抽取6件合格產(chǎn)品,測得數(shù)據(jù)如下:
尺寸 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
質(zhì)量 | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24 | 25.5 |
質(zhì)量與尺寸的比 | 0.442 | 0.392 | 0.367 | 0.329 | 0.308 | 0.290 |
(I)現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選3件,記為取到優(yōu)等品的件數(shù),試求隨機變量的分布列和期望;
(II)根據(jù)測得數(shù)據(jù)作了初步處理,得相關統(tǒng)計量的值如下表:
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
(i)根據(jù)所給統(tǒng)計量,求關于的回歸方程;
(ii)已知優(yōu)等品的收益(單位:千元)與的關系為,則當優(yōu)等品的尺寸為何值時,收益的預報值最大? (精確到0.1)
附:對于樣本, 其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域為(-2,2),函數(shù)g(x)=f(x-1)+f(3-2x).
(1)求函數(shù)g(x)的定義域;
(2)若f(x)是奇函數(shù),且在定義域上單調(diào)遞減,求不等式g(x)≤0的解集.
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