Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，n∈N⁺，且點(diǎn)（2，a₂），（a₇，S₃）均在直線x-y+1=0上
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n，及前n項(xiàng)和S_n；
（2）若b_n=

1

2(Sn-n)

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由于點(diǎn)（2，a₂），（a₇，S₃）均在直線x-y+1=0上，可得2-a₂+1=0，a₇-S₃+1=0，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出；
（2）由b_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵點(diǎn)（2，a₂），（a₇，S₃）均在直線x-y+1=0上，
∴2-a₂+1=0，a₇-S₃+1=0，
∴a₂=3，a₇-a₃-a₂-a₁+1=0，
∴a₁+d=3，a₁+6d-（a₁+2d）-3-a₁+1=0，
即a₁+d=3，4d-a₁=2．
∴d=1，a₁=2．
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
∴S_n=

n(2+n+1)

2

=

n2+3n

2

．
（2）b_n=

1

2(Sn-n)

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“裂項(xiàng)求和”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．