Question

17．如圖，四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是菱形，其對角線的交點為O，且SA=SC，SA⊥BD．

（1）求證：SO⊥平面ABCD；
（2）設∠BAD=60°，AB=SD=2，P是側(cè)棱SD上的一點，且SB∥平面APC，求三棱錐A-PCD的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理，容易判斷BD⊥平面SAC，所以BD⊥SO，而SO又是等腰三角形底邊AC的高，所以SO⊥AC，從而得到SO⊥平面ABCD；
（2）連接OP，求出P到面ABCD的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，利用V_{三棱錐A-PCD}=V_{三棱錐P-ACD}，這樣即可求出三棱錐A-PCD的體積．

解答 （1）證明：∵底面ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
又∵BD⊥SA，SA∩AC=A，∴BD⊥平面SAC．
又∵SO?平面SAC，∴BD⊥SO．
∵SA=SC，AO=OC，∴SO⊥AC．
又∵AC∩BD=O，∴SO⊥平面ABCD．
（2）解：連接OP，
∵SB∥平面APC，SB?平面SBD，平面SBD∩平面APC=OP，∴SB∥OP．
又∵O是BD的中點，∴P是SD的中點．
由題意知△ABD為正三角形．∴OD=1．
由（1）知SO⊥平面ABCD，∴SO⊥OD．
又∵SD=2，∴在Rt△SOD中，SO=$\sqrt{3}$，
∴P到面ABCD的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∴V_A-PCD=V_P-ACD=$\frac{1}{3}$×（$\frac{1}{2}$×2×2sin 120°）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$．

點評 考查線面垂直的判定定理，菱形對角線的性質(zhì)，線面平行的性質(zhì)定理，以及三角形的面積公式，三棱錐的體積公式．