Question

17．△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知點(diǎn)（a，b）在直線x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上．若△ABC為銳角三角形且滿足$\frac{m}{tanC}$=$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 將（a，b）代入直線解析式，再利用正弦定理化簡(jiǎn)，利用余弦定理表示出cosC，將得出的關(guān)系式代入求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)，化簡(jiǎn)$\frac{m}{tanC}$=$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$，可得m=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}sin（2A-\frac{π}{6}）+\frac{1}{4}}$，從而由正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得實(shí)數(shù)m的最小值．

解答 解：在△ABC中，
∵點(diǎn)（a，b）在直線x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上，
∴a•sinA-a•sinB+b•sinB=c•sinC，
再利用正弦定理可得 a²+b²-c²=ab，
故有cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
則角C的值為$\frac{π}{3}$，
∵$\frac{m}{tanC}$=$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$，
∴$\frac{mcosC}{sinC}$=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosB}{sinB}$=$\frac{cosAsinB+sinAcosB}{sinAsinB}$=$\frac{sin（A+B）}{sinAsinB}$=$\frac{sinC}{sinAsinB}$，
即mcosC=$\frac{si{n}^{2}C}{sinAsinB}$，有m=$\frac{2si{n}^{2}C}{sinAsin（\frac{2π}{3}-A）}$=$\frac{\frac{3}{2}}{sinA（\frac{\sqrt{3}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA）}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}sin（2A-\frac{π}{6}）+\frac{1}{4}}$，
∵0＜A＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$＜2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜sin（2A-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$≤$\frac{3}{4}$，
∴m_min=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}$=2．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，考查了余弦定理，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，屬于基本知識(shí)的考查．