Question

已知f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上f′（x）＞0，且偶函數(shù)f（x）滿足f(2x-1)＜f(

1

3

)，則x的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由于已知f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又由于函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，所以f（|x|）=f（x），所以要求滿足f(2x-1)＜f(

1

3

)，等價于求解：f（|2x-1|）＜f（|

1

3

|）的解集，利用此函數(shù)的單調(diào)性即可．

解答：解：因為f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，在區(qū)間[0，+∞）上f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
又因為函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，所以f（|x|）=f（x），所以要求f(2x-1)＜f(

1

3

)的解集，
等價于求解：f（|2x-1|）＜f（|

1

3

|）的解集，
等價于：|2x-1|＜

1

3

，
解得：

1

3

＜x＜

2

3

，
故答案為：(

1

3

，

2

3

)

點評：此題考查了偶函數(shù)的定義及導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，還考查了含絕對值的不等式的求解．