Question

為豐富中學(xué)生的課余生活，增進(jìn)中學(xué)生之間的交往與學(xué)習(xí)，某市甲乙兩所中學(xué)舉辦一次中學(xué)生圍棋擂臺(tái)賽．比賽規(guī)則如下，雙方各出3名隊(duì)員并預(yù)先排定好出場(chǎng)順序，雙方的第一號(hào)選手首先對(duì)壘，雙方的勝者留下進(jìn)行下一局比賽，負(fù)者被淘汰出局，由第二號(hào)選手挑戰(zhàn)上一局獲勝的選手，依此類推，直到一方的隊(duì)員全部被淘汰，另一方算獲勝．假若雙方隊(duì)員的實(shí)力旗鼓相當(dāng)（即取勝對(duì)手的概率彼此相等）
（Ⅰ）在已知乙隊(duì)先勝一局的情況下，求甲隊(duì)獲勝的概率．
（Ⅱ）記雙方結(jié)束比賽的局?jǐn)?shù)為ξ，求ξ的分布列并求其數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在已知乙隊(duì)先勝一局的情況下，相當(dāng)于乙校還有3名選手，而甲校還剩2名選手，甲校要想取勝，需要連勝3場(chǎng)，或者比賽四場(chǎng)要?jiǎng)偃龍?chǎng)，且最后一場(chǎng)獲勝，由此能求出甲校獲勝的概率．
（Ⅱ）記雙方結(jié)束比賽的局?jǐn)?shù)為ξ，則ξ=3，4，5．由題設(shè)條件知P(ξ=3)=

C

1 2

(

1

2

)3=

1

4

，P(ξ=4)=

C

1 2

C

2 3

(

1

2

)4=

3

8

，P(ξ=5)=

C

1 2

C

2 4

(

1

2

)5=

3

8

，由此能求出ξ的數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（Ⅰ）在已知乙隊(duì)先勝一局的情況下，相當(dāng)于乙校還有3名選手，而甲校還剩2名選手，甲校要想取勝，需要連勝3場(chǎng)，或者比賽四場(chǎng)要?jiǎng)偃龍?chǎng)，且最后一場(chǎng)獲勝，所以甲校獲勝的概率是(

1

2

)3+

C

2 3

(

1

2

)4=

5

16

（Ⅱ）記雙方結(jié)束比賽的局?jǐn)?shù)為ξ，則ξ=3，4，5P(ξ=3)=

C

1 2

(

1

2

)3=

1

4

P(ξ=4)=

C

1 2

C

2 3

(

1

2

)4=

3

8

P(ξ=5)=

C

1 2

C

2 4

(

1

2

)5=

3

8

所以ξ的分布列為

ξ	3	4	5
P	1 4	3 8	3 8

數(shù)學(xué)期望Eξ=3×

1

4

+4×

3

8

+5×

3

8

=

33

8

．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，解題之前，要分析明確事件間的關(guān)系，一般先按互斥事件分情況，再由相互獨(dú)立事件的概率公式，進(jìn)行計(jì)算．