Question

已知函數(shù)f（x）=

1

1+x2

，
（1）求證：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)；
（3）求函數(shù)f（x）=

1

1+x2

在[-3，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用奇偶性的定義，先求定義域，再計(jì)算f（-x），與f（x）比較即可；
（2）運(yùn)用單調(diào)性的定義，注意取值、作差、變形和定符號、下結(jié)論幾個(gè)步驟；
（3）由奇偶函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)f（x）=

1

1+x2

在[-3，0]遞增，（0，2]上遞減，即可得到最值．

解答： （1）證明：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，
f(-x)=

1

1+(-x)2

=

1

1+x2

=f(x)，
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)；
（2）證明：設(shè)x₁＜x₂≤0，
f（x₁）-f（x₂）=

1

1+x12

-

1

1+x22

=

x22-x12

(1+x12)(1+x22)

=

(x2-x1)(x2+x1)

(1+x12)(1+x22)

，
∵x₁＜x₂≤0，∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是增函數(shù)；
（3）解：由（1）（2）得，f（x）在（-∞，0]上增，在（0，+∞）上減，
則函數(shù)f（x）=

1

1+x2

在[-3，0]遞增，（0，2]上遞減，
∴f_max（x）=f（0）=1，f_min（x）=f（-3）=

1

10

．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷與證明和運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．