Question

已知動圓M與定圓x²+（y-

1

2

）²=

1

16

相外切，且與定直線y=-

1

4

相切，動圓圓心M的軌跡記為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線y=kx+m與曲線C相交于A，B兩點，Q（x₀，y₀）是曲線C上異于A、B的點，曲線C在A，B處的切線相交于P點，曲線C在點Q處的切線l與直線PA，PB分別交于點D、E，求△QAB與△PDE的面積之比．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)F（0，

1

2

），M到定直線y=-

1

4

的距離為d，動圓M的半徑為R，由已知得：|MF|=R+

1

4

，由拋物線的定義得C的方程為x²=2y．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），記△QAB、△PDE的面積分別為S₁、S₂，由

y=kx+m x2=2y

，得x²-2kx-2m=0，由此利用韋達定理、根的判別式、弦長公式、點到直線的距離公式能求出△QAB與△PDE的面積之比．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)F（0，

1

2

），M到定直線y=-

1

4

的距離為d，動圓M的半徑為R，
由已知得：|MF|=R+

1

4

，d=R，即|MF|與M到定直線y=-

1

2

的距離相等，
由拋物線的定義得C的方程為x²=2y．（5分）
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），記△QAB、△PDE的面積分別為S₁、S₂，
由

y=kx+m x2=2y

，得x²-2kx-2m=0，則x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2m，
△=4k²+8m＞0，（7分）
|AB|=

1+k2

•

4k2+8m

，Q到AB的距離d1=

|kx0+m-y0|

1+k2

，
則S₁=

1

2

|AB|•d1=

k2+2m

|kx₀+m-y₀|，（8分）
由x²=2y，得y=

x2

2

，y′=x，
則曲線C在A處的切線y-y₁=x₁（x-x₁），即y=x1x-

1

2

x12，①
同理曲線C在B處的切線為y=x2x-

1

2

x22，②
由①②得P（

x1+x2

2

，

x1x2

2

），即P（k，-m），（10分）
同理曲線C在Q處的切線為y=x0x-

1

2

x02，
D（

x1+x0

2

，

x1x0

2

），E（

x2+x0

2

，

x2x0

2

），（11分）
則|DE|=

( x1-x2 2 )2+( x1x0 2 - x2x0 2 )2

=

1+x02

2

(x1+x2)-4x1x2

=

1+x02

k2+2m

，
P到DE的距離d₂=

| x1+x2 2 x0- 1 2 x02- x1x2 2 |

1+x02

=

|kx0-y0+m|

1+x02

，
則S₂=

1

2

|DE|d₂=

1

2

k2+2m

|kx₀-y₀+m|，（14分）
所以

S1

S2

=2，
故△QAB與△PDE的面積之比為2．（15分）

點評：本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)、直線與拋物線、圓等知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力．