Question

19．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{{x^2}+2x+a}}{x}，x∈[1，+∞）$
（1）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．
（2）當(dāng)a＞0時，求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得x²+2x+a＞0在x∈[1，+∞）恒成立，即有-a＜x²+2x的最小值，運用二次函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最小值，進(jìn)而得到a的范圍；
（2）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論0＜a＜1，a≥1，求出單調(diào)性，即可得到最小值．

解答 解：（1）對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，即為
x²+2x+a＞0在x∈[1，+∞）恒成立，即有-a＜x²+2x的最小值，
而x²+2x=（x+1）²-1在x∈[1，+∞）遞增，即有x=1，取得最小值3，
則-a＜3，解得a＞-3：
（2）a＞0時，f（x）=x+$\frac{a}{x}$+2的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-a}{{x}^{2}}$，
當(dāng)$\sqrt{a}$≥1，即a≥1時，f（x）在[1，$\sqrt{a}$）遞減，（$\sqrt{a}$，+∞）遞增，
即有x=$\sqrt{a}$處取得最小值，且為2+2$\sqrt{a}$；
當(dāng)$\sqrt{a}$＜1即0＜a＜1時，f（x）在[1，+∞）遞增，即有x=1時取得最小值，且為3+a．
綜上可得，0＜a＜1時，f（x）的最小值為a+3；a≥1時，f（x）的最小值為2+2$\sqrt{a}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用函數(shù)的單調(diào)性和分類討論的思想方法，同時考查不等式恒成立問題的解法，屬于中檔題．